Electromagnétisme

Les phénomènes électromagnétiques généraux peuvent se décrire au moyen des quatre équations de Maxwell:

Les quantités en jeu sont les suivantes :

• E est le vecteur champ électrique, exprimé en Volts par mètre (.
• H est le vecteur champ mgnétique (Ampéres par mètre, ou en oersteds ).
• D est le déplacement électrique (Coulombs par mètre carré ).
• B est l'induction magnétique (Teslas ou Webers par mètre carré T).
• est la densité de charges (Coulombs par mètre cube ).
• j est la densité de courant de convection (Ampères par mètre carré ).

Les vecteurs E et D sont liés par la polarisation du milieu: dans le vide, on a simplement où est la permittivité du vide, en Farads par métre. Dans un milieu matériel, la relation entre E et D est de façon générale non linéaire, à savoir D = f(E). Dans la plupart des cas, il sera possible d'exprimer la fonction f par son développement en série entière au voisinage de 0 et l'on aura :

où les quantités sont des tenseurs. Sauf à travailler avec des champs extrêment intenses, ou dans des milieux présentant une polarisation rémanente (KDP, titanate de Baryum, sel de Seignette ...), il n'y a pas lieu de prendre en compte d'autres termes que le terme linéaire. On obtient alors une relation tensorielle où est un tenseur symètrique d'ordre 2, appelé tenseur de permittivité (on pose souvent et est appelé tenseur de permittivité relative). Dans le cas où les champs sont alternatifs sinusoïdaux, on prendra complexe. Dans un milieu isotrope, se réduit à un scalaire, qui est simplement appelé permittivité du milieu (en champ alternatif, le rapport entre sa partie réelle et sa partie imaginaire est la tangente de l'angle de perte, quantité souvent fournie par les fabricants de diélectriques et de condensateurs: plus cette valeur est petite, meilleur est le diélectrique en haute-fréquence!). Attention: bien que dans la plupart des cas pratiques la formulation scalaire soit applicable, certains matériaux sont volontairement rendus anisotropes, en particulier pour des applications en trés haute tension ... ou pour améliorer le comportement des diélectriques entourant les câbles audio.

Les vecteurs H et B sont également liés par une relation fonctionnelle B = f(H). Contrairement à ce qui se passe dans le cas des diélectriques, la plupart des matériaux utilisés pour les transformateurs audio sont anisotropes et non linéaires (sauf l'air, bien entendu!). Dans le cas où l'approximation au premier ordre est valide, on pose , (dans le vide, , avec et la perméabilité relative se définit par ). est exprimé en henries par mètre (). Dans tous les autres cas, il faudra pousser le développement ou utiliser directement la fonction B = f(H). Pour compliquer encore les choses, la relation B=f(H) est en fait décrite par un cycle, dit cycle d'hystérésis, l'induction n'étant pas la même selon le sense d'évolution de H! La figure ci-dessous montre un tel cycle d'hystérésis, avec son sens de parcours.

On remarquera l'applatissement de la courbe pour les fortes valeurs de H : ce phénomène est connu sous le nom de saturation du matériau.

Les équations de Maxwell admettent également une forme intégrale, qui s'obtient par application des formules de Stokes ou d'Ostrogradsky. Cette formulation correspond à des lois connues:

Dans les relations précédentes, S (resp. V) désigne une surface (resp. un volume) de de bord (resp. ) régulier. On notera dans la suite généralement une quantité de la forme par (flux de l'induction magnétique à travers la surface S).

Selon les applications, il pourra être plus intéressant d'utiliser les formes intégrales que la formulation différentielle: ceci sera le cas en particulier pour la détermination approchée des caractéristiques d'un bobinage sur fer (ou tout matériau ferromagnétique à forte parméabilité). Il est à noter que du fait de la relation , les lignes de champ de B sont fermées, et il est utile de considérer les régions de l'espace délimitées par toutes les lignes de champ s'appuyant sur un contour fermé donné :

Ces zônes sont appelées tubes d'induction et possédent comme propriété remarquable que le flux de B est constant sur chacune de ses sections. On en déduit, en utilisant la loi d' Ampère, que le flux admet pour expression :

où l'intégrale est calculée le long d'une ligne de champ appartenant au tube d'induction, étant la perméabilité du milieu au point considéré et S la surface de la section droite du tube en ce même point. La somme des courants traversant le tube est la force magnétomotrice du circuit ( exprimée en ampères-tours lorsque l'on a affaire à un bobinage), alors que l'intégrale présente au dénominateur est la réluctance totale du tube. Il est possible de définir la réluctance d'une portion d'un tube d'induction simplement en limitant le domaine d'intégration à cette zône. Au vu de la formule précédente, et en raison de l'additivité de l'intégrale, il est clair que les réluctances suivent formellement les mêmes lois que les résistances (on peut mettre en série ou en parallèle des réluctances selon que l'on divise un tube en plusieurs branches ou que l'on en met des portions bout à bout). La figure ci-dessous montre comment un noyau de fer peut être décomposé en branches de réluctance connue (chaque rectangle rouge représente la réluctance de la branche considérée). La réluctance totale du circuit se calcule alors en utilisant la loi de composition prédemment citée (remarquer l'analogie parfaite avec un réseau de résistances !). Etant donnée la perméabilité très {elevée des noyaux couramment employés, on peut admettre que le noyau est un tube de champ.

Dans le cas présent, on a fait l'hypothèse que les branches supérieures et inférieures sont de même réluctance, de même que les branches droite et gauche. On en déduit la réluctance totale :

Si l'enroulement possède N spires et que la section centrale du noyau est de surface S, on déduit du calcul précédent la valeur de l'induction (supposée quasi-constante) pour un courant I :

Cette grandeur est fondamentale pour le calcul d'un transformateur : en effet, la courbe liant H et B étant non linéaire pour les matériaux employés en pratique, il existera une valeur maximum admissible de l'induction (qui correspond à une limite de distorsion pour les applications audio). Cette valeur limite est en général fournie par le fabricant du noyau, mais peut aussi se déduire de la courbe B=f(H) ... ou par expérience! Une valeur classique de se situera entre 0.2 et 0.4 Teslas, mais pourra être réduite pour diminuer la distorsion, ou dans le cas d'utilisation de noyaux à forte perméabilité (alliages de nickel: permalloy, mumétal, supermalloy). Si la perméabilité du noyau est constante (ce qui est le cas de tous les noyaux commerciaux sans entrefer), la formule donnant B s'écrira aussi :

où a la dimension d'une longueur et porte le nom de longueur moyenne des lignes de champs : cette quantité est disponible pour un noyau donné dans la documentation du fabricant.