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2   Interprétation

F ¾® {0,1}
T ¾® ???

Définition 5   Soit D le domaine des termes, une interprétation I est une application sur SÈ P :
S ¾®
 
È
nÎ N
(Dn ¾® D)
c  
c
Î D     constante
fi  
fi
:Di ¾® D     fonction
     
P ¾®
 
È
nÎ N
(Dn ¾® {0,1})
pi  
pi
:Di ¾® {0,1}     prédicat

Propriété 19   Une interprétation peut être étendue aux ensembles de termes et de formules (s:V® D désigne la valuation des variables libres) :
I
 
s
(f(t1,...,tn))
def
=
 
I(f)( I
 
s
(t1),..., I
 
s
(tn))
I
 
s
(x)
def
=
 
s(x)
I
 
s
(p(t1,...,tn))
def
=
 
I(p)( I
 
s
(t1),..., I
 
s
(tn))
I
 
s
(A Ú B)
def
=
 
max( I
 
s
(A), I
 
s
(B))
I
 
s
(A Ù B)
def
=
 
min( I
 
s
(A), I
 
s
(B))
I
 
s
(¬ A)
def
=
 
1- I
 
s
(A)
I
 
s
(" x A)
def
=
 
 
inf
s'
I
 
s'
(A)  avec  s'(y)=s(y)  pour  y¹ x
I
 
s
($ x A)
def
=
 
 
sup
s'
I
 
s'
(A)  avec  s'(y)=s(y)  pour  y¹ x

Exemple : soient S={z0,u0,a2} et P={e2,p1}. On peut choisir :
D = N          les entiers
I(z) = 0           zéro
I(u) = 1           un
I(a) = lxy.(x + y)   l'addition
I(e) = lxy.(x = y)   l'égalité
I(p) = lx.(x = 0)    l'égalité à zéro
Que signifient alors : Remarque : l'ensemble des termes étant en général infini il n'est pas possible de représenter l'interprétation d'un prédicat par une table de vérité.

Définition 6   On dit qu'une formule A close est satisfiable si il existe un domaine D et une interprétation I telle que IØ(A)=1. On dit alors que (D, I) est un modèle pour A.

Conséquence logique (A|= B), équivalence (Aº B) : mêmes définitions que pour les propositions.

Remarque : en général ce n'est pas l'opération de recherche de modèle que l'on doit faire, mais l'inverse, l'axiomatisation d'un domaine D donné : quel est l'ensemble de formules qui a pour (unique) modèle D.

Exercices
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